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正則関数の問題ですが、よく理解できません。 分かる方ご教授願います。 f(z)...

ebi********さん

2010/12/1303:25:09

正則関数の問題ですが、よく理解できません。
分かる方ご教授願います。

f(z)はC上の正則関数とする。

f(z)がr=√(x^2+y^2)のみによる関数のとき、f(z)は定数関数であることを証明せよ。

よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

Amy☆さん

2010/12/1305:37:51

はーいo(^-^)o

(証明) z=re^θと極座標表示し、
f(z)=u(r,θ)+i・v(r,θ)とすると、
極座標のときのコーシー・リーマンの式より、

u_r=v_θ/r.......①
v_r=-u_θ/r.....②

題意は、「f(z)にはθは出てきませんっ(^0^)」ってことなので、
u_θ=v_θ=0ですo(^-^)o。よって、①、②の右辺は0となって、
u_r=v_r=0となります(^0^)/

よって、f(z)のそれぞれ実数、虚数部分であるu,vは定数で
あることが示されましたo(^-^)o........................(証明終わり)

質問した人からのコメント

2010/12/13 19:16:51

降参 素早い回答ありがとうございます。
微分して0になることを示せばいいのですね!

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