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【中学数学】この問題の解き方を教えて下さい!(関数)

zmb********さん

2011/2/322:28:11

【中学数学】この問題の解き方を教えて下さい!(関数)

直方体ABCD-EFGHは、AB=AD=3cm、AE=6cmである。
2点P・Qは同時にHを出発し、Pは毎秒1cmの速さで辺上をH→D→A→Bの順に動き、
Qは毎秒1cmの速さで辺上をH→G→C→Bの順に動き、P・Qは同時にBで停止する。

P・Qが出発してからx秒後の四面体EHPQの体積をycm3とするとき、

①0<x≦のときyをxの式で表しなさい。また、x=5のときのyの値を求めなさい。

②P・Qが出発してから停止するまでの間で、xの値が変化しても、yの値が一定となる場合がある。
(1)yの値が一定となるxの値の範囲を求めなさい。
(2)yの値が一定となる理由を、P・Qの①に着目して説明しなさい。

③x=10の時のyの値を求めなさい。

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sli********さん

2011/2/413:19:00

ともかく直方体ABCD-EFGHの図を書き、PとQの経路を正確にイメージもしくは図示しましょう。
結果として出来る四面体の体積の出し方を考えますが、
四面体というよりは三角錐として見た方が良いでしょう。
よってy=底面×高さ×1/3 を考えていくことになります。
PやQが角を曲がるときを境にして図形の体積の変化の仕方が変わりますので、
1:QがGに行くまで(0≦x≦3)
y=x^2/2
2:PがDに行くまで(3≦x≦6)
y=3x/2
3:PがAに、QがCに行くまで(6≦x≦9)
y=9
4:PとQがBに着くまで(9≦x≦12)
y=36-3x

この4つに分けて考えることになります。



上記の通りです。
その時の形に応じて、底面と高さをxで表していけばよいです。
基本的には底面を△EHPとしたらわかりやすいかなと思います。


(1)
見ての通り、6≦x≦9
(2)
△EHPを底面として見た時、Pは底辺EHと並行に移動していますから、底面積が変わりません。
そしてQも底面△EHPと並行に移動していますから、高さも変わりません。
なので一定となります。


y=36-3xにx=10を代入するだけなのですが、この式を出すのは苦労するでしょうから
10秒後の時のP、Qの位置から体積を考えた方が良いと思われます。
三平方や相似の知識をフル活用して下さい

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tmm********さん

2011/2/412:41:47


xの範囲が書いてないので、可能な限りを考えます。
まず最初の分岐点、x=3までのとき、2点は同一平面CDHG上にあり、HP=HQ=xなので、
y=x^2/2 (0≦x≦3)
次にQが折れ曲がって、PがDに着くx=6まで、
やはり同一平面内にあるが、底面の⊿HPQの面積が(3/2)xとなります。よって、
y=(3/2)x (3≦x≦6)

x=5のときは、もちろんy=15/2


(1)
P,Qはさらに進んで、次に、PがDを通過して折れ曲がったとき、
こんどは底面を⊿PEHとし、高さをDCとみれば、底面の面積は常に、9と一定です。
よってQがCに到達するまでのx=9までの間は、
y=9 (6≦x≦9)

(2)理由は上記の通りです。


さて、2点ともに最終コーナーを折れ曲がって、形状は一番複雑になります。

底面を⊿PQHとみて、まずこの面積から。

PからEFに下ろした垂線の足をI、QからFGに下ろした足をJとします。

PH^2=PI^2+IH^2=36+10=46
よって、PH=QH=√46
PQ=2√2
従って、⊿PQH=2√22 ・・(i)

一方高さは、⊿PQHの平面に平行で、Eを通る平面との距離と考えられます。
ここでは、断面DBFHを考えます。
DBとPQの交点をK、EGとHFの交点をLとします。
DK^2=(3^2+1^2)-(√2)^2=8
DK=2√2
HL=(3/2)√2
よって、KL=2√11
今、LからHKに垂線を下ろし、その足をMとると、このLMが求める高さです。
⊿HKD∽⊿LHM
なので、
2√11:6=(3/2)√2:LM
LM=(9/22)√22

したがって、(i)と合わせて、求める四面体の体積は、
(1/3)X2√22X(9/22)√22=6
となります。

pit********さん

2011/2/411:48:16

まず、辺の長さが3cmと6cm、PとQは毎秒1cm
この2点に注目します

3秒後にQが方向転換します
6秒後にPとQが方向転換します
9秒後にPが方向転換します
方向転換するということは体積、または底面積の増え方、または減り方が変化するという事です

なので
時間を0~3、3~6、6~9、9~12秒に分けて考える事になります
(こう考えると②はこの4区間のどこかだと分かります)
後はそれぞれの底面積と高さをxを用いて考えればそれぞれの答えを算出できます

参考までに
6~9秒では△EHPを底面として
9~12秒で△EPQを底面として考えると分かりやすいはずです

そして、この手の問題は文章の解説だけで理解するのは(理解してもらうのも)比較的難しいです
可能なら学校の先生など身近な解ける人に見せてもらった方が良いでしょう

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