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数学の問題です。 四面体OABCにおいて、点Oから3点A、B、Cを含む平面に下ろ...

aic********さん

2011/2/2513:50:39

数学の問題です。

四面体OABCにおいて、点Oから3点A、B、Cを含む平面に下ろした垂線とその平面の交点をHとする。 →OA⊥→BC、→OB⊥→OC、|→OA|=2、|→OB|=|→OC|=3、|→AB|=√7のとき、|→OH|を求めよ。

解答だけでなく途中計算もよろしくお願いいたします。
(__)

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ベストアンサーに選ばれた回答

tay********さん

2011/2/2514:55:49

aicezukiさん、ベクトルの→は省略して解答します。OB⊥OC、|OB|=|OC|=3よりBC=3√2

OA⊥BCよりOA・BC=0⇔OA・(OC-OB)=0⇔OA・OC-OA・OB=0⇔OA・OC=OA・OB

|AB|^2=7より|OB-OA|^2=7⇔9-2OA・OB+4=7、∴OA・OB=3=OA・OC

|AC|^2=|OC-OA|^2=9-2*3+4=7、∴|AC|=√7

線分BCの中点をDとする。AB=AC、OB=OCより図形の対称性を考慮すると、Hは線分AD上にある。

またAD⊥BCよりAD=√{7-(3√2/2)^2}=√10/2、OD=(1/2)BC=3√2/2

OH=x、AH=yとおくと、HD=√10/2-y

4=x^2+y^2...①

(3√2/2)^2=x^2+(√10/2-y)^2⇔9/2=x^2+y^2-(√10)y+(5/2)

①より9/2=4-(√10)y+(5/2)、∴y=2/√10

4=x^2+4/10、x^2=18/5、x=3√10/5=|OH|

質問した人からのコメント

2011/2/25 14:57:29

ありがとうございます
(^o^)/

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