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0≦x≦3,0≦y≦4の範囲でx、yの値がともに整数の場所に点を20個打つ 3個の点を頂点と...

ilo********さん

2011/3/2113:08:20

0≦x≦3,0≦y≦4の範囲でx、yの値がともに整数の場所に点を20個打つ
3個の点を頂点とする三角形をつくるとき全部で何個の三角形ができるか
やり方を教えて下さい 

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瑠奈琉さん

編集あり2011/3/2121:21:31

実際に座標軸と20個の点を描いて、樹系図を使う場合は点に名前(アルファベットがお勧めです)を付けてみると分かりやすいと思います。
(ここではA~Tの20個のアルファベットで説明します)
いくつかの解法を紹介します。

①樹系図を使う
今回は樹系図を数えるのだと、多すぎて数えきれないので、左端がA~CまたはDまで出して規則性を見つけ、計算で出します。

A―B―C




B―C―D




書いた樹系図を見ると、A―B―に続くのはC~Tまでの18個、A―C―に続くのはD~Tまでの17個……という具合に個数に規則性が見えてきます。
出てきた規則性を「18+17+16+15+…+4+3+2+1」(左端が「A」の樹系図の場合の数の合計を表す場合)と表して、右端の「1」をそろえてAからRまでの分の式を書き出してすべて足すと、

18×1+17×2+16×3+15×4+14×5+13×6+12×7+11×8+10×9+9×10+8×11+7×12+6×13+5×14+4×15+3×16+2×17+1×18
=2×(18×1+17×2+16×3+15×4+14×5+13×6+12×7+11×8+10×9)

という式が出てくるので、これを計算します。

2×(18×1+17×2+16×3+15×4+14×5+13×6+12×7+11×8+10×9)
=2×(18+34+48+60+70+78+84+88+90)
=2×570
=1140

さらにこの中には三角形にならないもの=直線になるものも含まれています。これは数えたほうが早いです。
書いた座標から直線は、x軸に平行な直線は10本、y軸に平行な直線は12本、右上がりの直線は6本、右下がりの直線は6本、合計で34本あるのが分かります。

1140-34=1106

(答)1106個


②計算で出す(高校数学)
高校数学(数学B)では、すべて異なるp個の物の中からq個の物を取り出す(p≧q)時、その場合の数を「pCq」(Cの両脇のp,qに入る数字はCより一回り小さく書きます)と表します。計算方法は、

pCq=(pから(pから小さいほうに数えてq個目の整数)までのすべての整数の積)÷(1からqまでのすべての整数の積)

です。
この問題の場合は20個の物(=点)から3個の物を選ぶので、計算は

20C3=(18×19×20)÷(1×2×3)

割られる数と割る数の両方を6(=1×2×3)で約分すると、

20C3=(18÷6)×19×20÷1
=3×380
=1140

この答えから①と同じく、直線になる組み合わせの数を引いて、

1140-34=1106

(答)1106個

どの解法でも大丈夫ですが、私のお勧めは、計算ミスが少ない②です。
中学数学までの内容での解法なら①をお勧めします。
長くなってしまってごめんなさいm(_ _)m

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