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フーリエ解析の問題です。 f(x)= 0 (-π < x ≦ 0 ) 1 ( 0 < x ≦ π ) という周...

gur********さん

2011/4/2009:24:04

フーリエ解析の問題です。

f(x)= 0 (-π < x ≦ 0 )
1 ( 0 < x ≦ π )
という周期2πの周期関数のフーリエ級数展開はどうなりますか?

という問題を解いてください!!!

お願いします!!!

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ベストアンサーに選ばれた回答

see********さん

2011/4/2009:58:51

f(x)= 0 (-π < x ≦ 0 )
=1 ( 0 < x ≦ π )

c0=1/(2π)∫[-π→π]f(x)dx
=1/(2π)∫[0→π]1dx
=1/(2π)[x][0→π]
=1/2

an=1/π∫[-π→π]f(x)cosnxdx
=1/π∫[0→π]cosnxdx
=1/π[1/nsinnx][0→π]
=1/π(1/nsinnπ-0)

sinnπ=0だから
=0

bn=1/π∫[-π→π]f(x)sinnxdx
=1/π∫[0→π]sinnxdx
=1/π[-1/ncosnx][0→π]
=1/π(-1/ncosnπ+1/ncos0)

cosnπ=(-1)^nだから
={1-(-1)^n}/(nπ)


よってフーリエ級数は
1/2+Σ[n=1→∞]{1-(-1)^n}/(nπ)・sinnx
=1/2+2/πsinx+2/(3π)sin3x+2/(5π)sin5x+…
=1/2+2/π(sinx+1/3sin3x+1/5sin5x+…)

質問した人からのコメント

2011/4/21 11:38:52

降参 本当に本当にありがとうございます!!!!

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