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フラクタル次元が理解できません。わかりやすく教えてください

tar********さん

2011/4/2614:21:20

フラクタル次元が理解できません。わかりやすく教えてください


フラクタル次元は

「フラクタル幾何学においてより細かなスケールへと拡大するにつれあるフラクタルがどれだけ完全に空間を満たしているように見えるかを示す統計的な量である」

とあるのですが、自分の頭ではイメージできず、理解ができません。

複雑さを表しているんですか??

この文をわかりやすく教えてください.

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int********さん

2011/4/2714:21:48

例えば、線は長さの単位であるメートル(m)があります。
面は、面の面積の単位である平方メートル(㎡)があります。
立体は、立体の体積の単位である立方メートル(㎥)があります。
(環境依存文字ですいません)

線は、2倍に拡大すると、2倍の長さになり、
面は、2倍に拡大すると、2^2=4倍の面積になり、
立体は、2倍に拡大すると、2^3=8倍の体積になります。

この指数は、単位の指数と同じ、というイメージで考えられます。

wikipediaの冒頭部分の説明と重複するかもしれませんが、
コッホ雪片(wikipediaのフラクタルを参照ください)を、何かの測度(長さや面積のようなもの)で図ろうとすると、
「長さは無限大だし、かといって線は線だから面積も計算できないし・・・」
という葛藤に見舞われます。

コッホ雪片の定義を少し変えただけなのに、それらを比べる指標がない、
ということで、定義されたものです。

1辺が1cmの正方形を、線だけで塗りつぶすことはできませんよね?
(線は太さがないですから、面積は0です。面積0のもので面積1c㎡を埋められません)

「線以上、面未満の存在なら、具体的にどのくらいの位置に属しているのか?
どのくらい線で、どのくらい面なのか?」
というのがモチベーションです。

1つには複雑さともいえますが、
どちらかといえば、線と面のどちらにどのくらい近いのか?という指標と思われます。

整数や分数(有理数)しか知らない人が円周率πを探求しているようなものなのかなと感じます。

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