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虚数の対数って定義可能ですか? 高校教科書で真数は正と書いてあるので、この...

pn6********さん

2011/5/2000:12:37

虚数の対数って定義可能ですか?

高校教科書で真数は正と書いてあるので、この質問は馬鹿げているのかもしれませんが、 複素数を扱う上で複素数にも対数あったら便利だな…と思って質問しました。

この質問をしたのはオイラーの式e^iπ=-1から
両辺2乗して考えると
iが実数になってしまうからおかしいなと思ったからというのもあります

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ベストアンサーに選ばれた回答

mat********さん

2011/5/2000:19:31

素晴らしい着眼点です。
ご存知の通り、任意の複素数はeを底とする指数で表されます。

z=r(cosθ+i・sinθ)=r・e^(iθ)
r=|z|、θ=argz

したがって、
logz=logr+loge^(iθ)
_____=log|z|+i・argz
となります。定義域は、z≠0です。

質問した人からのコメント

2011/5/20 00:36:31

感謝 やっぱりできるんですね!
みなさんわかりやすい説明ありがとうございました
勉強になりました。


ちなみにe^(2iπ)=1=e^0だから2iπ=0 2π≠0なのでi=0∈Rだと思ってました…

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wha********さん

2011/5/2000:29:52

>両辺2乗して考えると,iが実数になってしまう
違うでしょう。
e^2iπ=1
となるだけでしょう。

>虚数の対数って定義可能ですか
log(i)=πi/2+2πin (nは整数)
と多価関数になります。

複素数の対数は定義されます。
複素関数論の分野で、正確にやりましょう。

rit********さん

2011/5/2000:18:01

こんにちワン。
できますよ。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%BE%E6%95%B0
でも、多価になるから面倒ではあります。

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