a1=a,b1=b,(a>b>0) a(n+1)=(an+bn)/2 b(n+1)=anbn^1/2 で定まる二つの数列{an},{bn}は同じ極限値を持つことを示せ。(帰納法) 解けません。どなたか解いてみてください。お願いします。

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高校の微積分では 評価してはさみうちの原理 が原則だと思います。 与えられた漸化式と0<a<bより帰納的に0<an,0<bnとなる。 すると相加・相乗平均の関係より a(n+1)/b(n+1)=(an+bn)/2√(anbn) =(1/2){√(an/bn)+√(bn/an)}≧(1/2)*2*√(an/bn)*√(bn/an) =1 ∴b(n+1)≦a(n+1)となる。 ここで等号が成り立つとすると bn=anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)=(1/2)*2an=an となり an=a(n-1)=…=a1=a=b1=b となりa<bに矛盾する。 よって等号は成立しないので b(n+1)<a(n+1) となり、したがって bn<an…(*) となる。 すると an+bn<2anより a(n+1)=(1/2)(an+bn)<(1/2)*2an=an となる。 したがって0<anより a(n+1)=k*an を満たす1より小さい正の実数kが存在する。 すると an=k*a(n-1)=k^2*a(n-2)=…=k^(n-1)*a1=k^(n-1)*a となるから lim[n→∞]an=a*lim[n→∞]k^(n-1)=0…(**) となる。 すると(*)と0<bnより 0<bn<an だから(**)からはさみうちの原理により lim[n→∞]bn=0 となる。 よって lim[n→∞]an=lim[n→∞]bn=0 となる。

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yuichi_kato_katoさん kuma_pooh_007さん の解では、a(n),b(n)そろって∞に発散する可能性をつぶしていないのでちょっと片手落ちです。まあ、すぐ埋められる穴ではあるのですけれど。さて、私の回答案は以下の通り。 相加相乗平均の関係と数学的帰納法により、全てのn≧1について a(n) > a(n+1) > b(n+1) > b(n) であることが示せます。これにより、 {a(n)}は下に有界な単調減少数列であり、収束します。 {b(n)}は上に有界な単調増加数列であり、収束します。 最後にa(n+1)の定義から 0 < a(n+1) - b(n+1) < a(n+1) - b(n) = (1/2) (a(n) - b(n)) なので、数学的帰納法により 0 < a(n) - b(n) < (1/2)^{n-1} (a - b) →0 (n→∞として) よって、{a(n)}、{b(n)}の極限は一致します。