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an=r^n-1が与える数列{an}に関する以下の問いに答えよ。 (1)r>1のとき、h=r-1...

inu********さん

2011/6/617:01:01

an=r^n-1が与える数列{an}に関する以下の問いに答えよ。
(1)r>1のとき、h=r-1とおくと、
r^n≧1+nh (n=1,2・・・・・・)
が成り立つことを示せ。また、この結果を用いて、r>1のとき、an→∞(n→∞)となることを示

せ。
(2)-1<r<1のとき、an→0(n→∞)となることを示せ。

今度のテストで必ずでる問題なのですが、全くわかりませんのでおしえてください。よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

とびーさん

2011/6/619:45:05

(1) 自明な変形 r = 1 + (r-1) = 1+h を考え、2項定理を用いれば

r^n = [1+h]^n = 1 + nC1・h + nC2・h^2 + …。

r>1 から h>0 であり、第3項以降はすべて正です。ここから r^n ≧ 1 + nh が成り立ちます。

先に注意したように h>0 なので、n-->∞ のとき 1+nh-->∞、したがって a_n-->∞ となります。

(2) |a_n| = |r|^n, ところで |r|<1 から |a_n|-->0 となります。これは a_n-->0 に他なりません。

こんな感じでいかがでしょうか?

質問した人からのコメント

2011/6/10 16:30:01

ありがとうございます。
とてもわかりやすく、理解することが出来ました。

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