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四角形の面積の出し方で<対角線×対角線×二分の一>というのがありますが、この公...

iee********さん

2011/8/2021:54:57

四角形の面積の出し方で<対角線×対角線×二分の一>というのがありますが、この公式は何の特徴の無い四角形にも使えますか?

よろしければ証明も載せてください。

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mal********さん

2011/8/2022:35:06

ieesmootoffic様、こんばんは。以下のようになります。

(証明)
任意の凸四角形ABCDにおいて、以下のようにおきます。
対角線ACの長さ:p、対角線BDの長さ:q
対角線ACと対角線BDの交点:H
対角線ACと対角線BDがなす角:θ
∠AHB=∠CHD=θ、∠BHC=∠DHA=π-θ
AH=x、HC=p-x、BH=y、HD=q-y
(p、q、x、y、θ:実数、0<x<p、0<y<q、0<θ<π)

これらを踏まえて、四角形ABCDの面積を計算します。
四角形ABCD=△AHB+△BHC+△CHD+△DHA
=(1/2)・AH・BH・sinθ+(1/2)・BH・CH・sin(π-θ)
+(1/2)・CH・DH・sinθ+(1/2)・DH・AH・sin(π-θ)
”sinθ=sin(π-θ)”より、”(1/2)・sinθ”で括ります。
四角形ABCD
=(1/2)・sinθ・(AH・BH+BH・CH+CH・DH+DH・AH)
=(1/2)・sinθ・{xy+y(p-x)+(p-x)(q-y)+(q-y)x}
=(1/2)・sinθ・(xy+py-xy+pq-py-qx+xy+qx-xy)
=(1/2)・sinθ・pq=(1/2)・pq・sinθ
よって、四角形ABCD=(1/2)・pq・sinθ
(終)

如何でしょうか?

”sinθ=1”、つまり、対角線が直交している四角形であれば、
(菱形や正方形でなくても)その面積は対角線の積の半分に
等しくなります・・・。

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ベストアンサー以外の回答

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las********さん

2011/8/2022:31:23

ひし形の面積を求める公式ですね。
ひし形は「4つの辺の長さが等しい四角形」という定義であり,対角線が垂直に交わるという性質を持っています。

この公式は,垂直に交わる2本の対角線を長方形の縦の長さと横の長さと考え,長方形の面積を考えてその半分という考えを用いているので,どの四角形にでも使えるわけではありません。2本の対角線が垂直に交わっている場合は使えます。
図を描いてみるとわかりやすいかと思います。

san********さん

2011/8/2022:12:05

それは正方形でしか通用しません
この考え方を説明します
片方の対角線で正方形をきり片方の2つ三角形にわけます
その片方の三角形の面積を出してから×2をして全体の面積をもとめます
底辺(対角線)×高さ(対角線÷2)÷2
=対角線×対角線÷2÷2×2
=対角線×対角線÷2
てなかんじで正方形だけに通用します

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