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剰余の定理 整式P(x)を(x+1)^2で割ったときの余りは 2x+3。また、x-1で割ったと...

inf********さん

2011/9/117:35:34

剰余の定理

整式P(x)を(x+1)^2で割ったときの余りは 2x+3。また、x-1で割ったときの余りは 1 である。P(x)を(x+1)^2(x-1)で割ったときの余りを求めよ。

という問題について質問があります



P(x)を題意の式で割ったときの商をQ(x)、余りをax^2+bx+cとすると
P(x)=(x+1)^2(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c となる
この式を(x+1)^2で割ると「(x+1)^2(x-1)Q(x)の部分は(x+1)^2で割りきれる。」
ax^2+bx+cを(x+1)^2で割ると a(x+1)^2+(b-2a)x+c-a
「よってb-2a=2、c-a=3」
またP(x)をx-1で割ったときの余りが1だから…


と続く解法があるのですが
「」の部分の言ってることがいろいろ考えたのですが?よくわかりません
どなたか分かりやすく説明してくれませんか><すみませんがよろしくお願いします。

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kyo********さん

2011/9/118:51:51

P(x)=A(x)(x+1)^2+(2x+3) -------------(1)
また、
(ax^2+bx+c)-a(x+1)^2=px+q と 置くと
P(x)=(x+1)^2(x-1)Q(x)+ax^2+bx+c=(x+1)^2(x-1)Q(x)+a(x+1)^2+(px+q)
={(x-1)Q(x)+a}(x+1)^2+(px+q) -------- (2)
(1) (2) より
A(x)(x+1)^2+(2x+3) ={(x-1)Q(x)+a}(x+1)^2+(px+q)
{A(x)-{(x-1)Q(x)+a}}(x+1)^2=(px+q)-(2x+3)
A(x)-{(x-1)Q(x)+a≠0 なら 2次以上=1次以下
よって、 A(x)-{(x-1)Q(x)+a}=0 で (px+q)-(2x+3)=0

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