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自然数nに対して、 P=∮[0,1]x^2|sinnπx|dxとおいたとき、極限値lim[n→∞]Pは? と...

blu********さん

2011/10/2602:04:44

自然数nに対して、
P=∮[0,1]x^2|sinnπx|dxとおいたとき、極限値lim[n→∞]Pは?
という問題について質問です。


t=nπxと置換して計算を進めると

P=1/(nπ)^3Σ[k=1,n]
∮[(

k-1)π,kπ]t^2|sint|dt

=1/(nπ)^3Σ[k=1,n]
∮[0,π](t+(k-1)π)^2|sin(t+(k-1)π)|dt

質問①
なぜこのように式変形できるんですか?
被積分関数をt軸方向に-(k-1)πだけ平行移動させたんですか?
その場合、本当に同値なんですか?


質問②
この後に、
∮[0,π](t+(k-1)π)^2|sin(t+(k-1)π)|dt

=∮[0,π](t+(k-1)π)^2|sint|dt

=∮[0,π](t+(k-1)π)^2sintdt

と変形されますが、うまくイメージできません。
sin(x+π)=-sinxからきてると思うのですが絶対値がつくと、こんがらがってしまいます。
上手く説明願います。




片方のみでもいいので回答お願いしますm(_ _)m

ちなみに積について
x^abとあるなら、
x^aとbの積の意味です。
単にxのab乗と表すときは
()でくくってわかるように
してあるので問題ないも思います。

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aru********さん

2011/10/2604:03:23

(1)
P=∮[0,1]x^2|sinnπx|dx
についてt=nπxと置換します。x=t/(nπ)、dx=dt/(nπ) なので
P=∮[0,nπ](t/(nπ))^2|sint|(1/(nπ))dt
=[1/(nπ)^3]∮[0,nπ]t^2|sint|dt
=[1/(nπ)^3][∮[0,π]t^2|sint|dt + ∮[π,2π]t^2|sint|dt
+ ∮[2π,3π]t^2|sint|dt +...+ ∮[(n-1)π,nπ]t^2|sint|dt]
=[1/(nπ)^3]Σ[k=1,n]∮[(k-1)π,kπ]t^2|sint|dt

ここでt=t'+(k-1)πとおくと、dt=dt'、t∈[(k-1)π,kπ] は t'∈[0,π]と同値なので
=[1/(nπ)^3]Σ[k=1,n]∮[0,π](t'+(k-1)π)^2|sin(t'+(k-1)π)|dt'
となり、たしかに問題文どおりの変形ができました。(最後の式でt'をもういちどtに置き換え直せばよい。) したがって、質問者様の
>被積分関数をt軸方向に-(k-1)πだけ平行移動させたんですか?
>その場合、本当に同値なんですか?
という質問への答えは、ともにYesです。

(2)
∮[0,π](t+(k-1)π)^2|sin(t+(k-1)π)|dt
の変形ですが、まずf(t)=|sint| (t≥0) のグラフをイメージすると、f(t)=sin(t)の負の部分を正の側に折り返した形になりますので、おにぎり型の山がπの周期で横にずらっと並んだ形となっています。したがって、|sint|=|sin(t+π)|=|sin(t+2π)|=...=|sin(t+(k-1)π)|=...
なので
=∮[0,π](t+(k-1)π)^2|sint|dt
また、0≤t≤π では sint≥0 なので |sint|=sint
したがって
=∮[0,π](t+(k-1)π)^2sintdt
となります。

質問した人からのコメント

2011/10/26 07:26:36

回答ありがとうございます!

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