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シュレディンガー方程式、水素の原子の2px、2py軌道に関する質問です。

ger********さん

2011/11/1902:27:04

シュレディンガー方程式、水素の原子の2px、2py軌道に関する質問です。

現在、大学の化学の授業で波動関数等を習い始めた大学1年生です。

水素原子の波動関数Ψ_nml(n:主量子数、m:角運動量量子数、l:磁気量子数)について、
Ψ_210,Ψ_21-1が虚数を含むので、虚数を打ち消すために、
Ψ2px=(Ψ_210+Ψ_21-1)/√2
Ψ2py=(Ψ_210-Ψ_21-1)×(-i/√2)
として考えると箇所があり、幾つかの疑問点を持ちました。

(1)HΨ=EΨ(ハットのつけ方が分かりませんでした…)の固有関数Ψの一次結合がまた固有関数ということですが、(少なくとも水素原子を考えるに当たり、)この微分方程式は、線形なものと考えていいのでしょうか。

(2)√2という数を用いているのは、波動関数を規格化するためなのでしょうか。

(3)波動関数は、ある量子状態を記述する複素数値関数、と認識しているのですが、このように一次結合を取って別の波動関数を考える時、また別の量子状態を記述していることになるのでしょうか。

自分の勉強不足ゆえに、質問の日本語すらおかしいかもしれませんがお許しを…。
一つからでも教えていただけると本当に助かります。
よろしくお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

mol********さん

2011/11/1910:37:44

質問に答える前にまず、いくつか訂正を。通常、方位量子数(軌道角運動量子数)をl、磁気量子数をmと表記します。水素波動関数をΨnlmとして、
Ψ2px=(Ψ211 + Ψ21-1)/√2
Ψ2py=(Ψ211 - Ψ21-1)(-i/√2)
となります。
質問への答えは以下の通りです。
(1) その通りです。シュレーディンガーの方程式を見れば線形であるということは明らかです。相対論的なディラックの方程式も線形です。
(2) その通りです。
(3) この場合、角運動量演算子lz=-iћ∂/∂θを作用させてみると
lzΨ211=ћΨ211
lzΨ21-1=-ћΨ21-1
とΨ211およびΨ21-1はlzの固有関数で、Ψ211の角運動量のz成分はћ、Ψ21-1のそれは-ћであることがわかります。一方、Ψ2pxおよびΨ2pyはlzの固有関数ではありません。また、Ψ*Ψが電子存在確率を表すのでΨ211およびΨ21-1はxy平面内の電子存在確率の異方性はありません。一方、Ψ2pxおよびΨ2pyはそれぞれ、xおよびy軸上の電子存在確率が高くなっております。このことは、Ψ211およびΨ21-1は原子の回りを回転している進行波を意味し、それらを重ね合わせたΨ2pxおよびΨ2pyは定常波を意味していると考えられます。

質問した人からのコメント

2011/11/20 04:05:59

分かりやすい説明ありがとうございます!理解が深まりました!

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

sur********さん

2011/11/1910:13:46

質問の文章中のΨ_210はΨ_211です。

(1)式を見れば明らかですが, 線形の方程式です。

(2)そうです。

(3)そうです。たとえば
Ψ_211やΨ_21-1はlzの固有状態ですが,その線形結合のΨ2px=(Ψ_210+Ψ_21-1)/√2はそうではありません。
Ψ2pxがどんな物理量の固有状態になっているか考えて見ると,理解も深まると思います。

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