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急ぎです。極座標と直交座標の意味を教えてください。

mon********さん

2011/11/2917:18:11

急ぎです。極座標と直交座標の意味を教えてください。

例えば
x^2+y^2-5y=0
とか
r=5sinθ
って結局何を意味してるんですか?点を意味するだけなら(x,y)とかだけでよいと思いますし・・・。
独学なので詳しく教えていただけると非常にありがたいです。

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fri********さん

編集あり2011/11/2918:02:29

直交座標と極座標による同じ円の方程式です。
これらの方程式を満たす点(x,y)または(r,θ)は全てこの円上にあります。
また、この円上の任意の点は方程式を満たします。

直交座標と極座標による同じ円の方程式です。...

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b_t********さん

2011/11/2918:08:13

まず、
「直交座標」と「極座標」について。


「直交座標」 とは、早い話が「普通の座標」です。

平面上の1点を原点と定め、そこで「直交」するように2本の数直線をおきます。

片方をx軸、もう片方をy軸と定め、平面上の点を

(点からx軸に垂線を下ろしたときの足の値,点からy軸に垂線を下ろしたときの足の値)

という方法で表した

(x,y)

を「直交座標(表示)」と呼びます。

一般的には

右に(x座標)、上に(y座標)行った点

を表しますね。



これに対し「極座標」とは、端的にいうと「距離と角度」で表される座標です。

平面上の1点を極と定め、その点から半直線を一本引きます。

この半直線を始線と定め、平面上の点を

(点から極までの距離,点と極を結んだ直線と始線がなす角度ラジアン)

という方法で表した

(r,θ)

を「極座標(表示)」と呼びます。

通常、
極は原点、
始線はx軸の正の側、
角度はy軸の正の向きに向かった動径
とそれぞれ同一視します。


例えば、

直交座標での(1,1)は
極座標での(√2,π/4)に対応し、

極座標での(3,π/3)は
直交座標での(3/2,3√3/2)に対応します。




次に「直交方程式」と「極方程式」について、

x^2+y^2-5y=0
とか
r=5sinθ

というのは、

「直交座標」、「極座標」ではなく、

それぞれ「直交方程式」、「極方程式」と呼びます。

これはそれぞれ

「x^2+y^2-5y=0
を満たすような直交座標で表された点(x,y)の集合で表される平面上の図形」

「r=5sinθ
を満たすような極座標で表された点(r,θ)の集合で表される平面上の図形」

を表します。


図形の概景を示せればよくわかるのですが、

それぞれの図形は逆の方法で表そうとすると非常に面倒な操作をしなければならなくなります。


直交方程式は全単射な図形を表現するのに適し、

極方程式は全射でも単射でもない図形を表現するのに適しています。


適材適所というやつですね。

one********さん

2011/11/2917:43:09

極座標とは、原点からの距離(r)と偏角(θ)からなる座標のことです。

たとえば、r=2を満たす点の集合は、原点を中心とする半径2の円ですが、ここでθ=π/4とするとこの円上の一点に決まります。

また、直交座標との関係ですが、上の例でいきますと、円上でθ=π/4の点の
x座標は2×cos(π/4)=1/√2
y座標は2×sin(π/4)=1/√2

つまり、(x、y)=(1/√2、1/√2)
一般的に書くと(x、y)=(rcosθ、rsinθ)です。

なので、x=rcosθ、y=rsinθとなります。

r=5sinθですと、両辺にrをかけてr^2=5rsinθで、
r^2は上の説明でいくと半径の2乗なので、x^2+y^2です。
右辺のrsinθはyですね。

よって、x^2+y^2=5y
つまりx^2+y^2-5y=0

となります。

pgs********さん

2011/11/2917:41:19

x^2+y^2-5y=0は、この方程式で表される曲線上の任意の点の

x座標とy座標の関係です。

この曲線は、中心(0、5/2)、半径5/2の円です。


r=5sinθは、この方程式で表される曲線上の任意の点の原点からの

距離rとx軸の正の方向とのなす角θの関係です。

この曲線も中心(0、5/2)、半径5/2の円です。

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