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また因数分解のことで質問をさせていただきます。 a^3(b-c)^3+b^3(c-a)^3+c^3(a-b...

ten********さん

2006/3/1519:14:32

また因数分解のことで質問をさせていただきます。
a^3(b-c)^3+b^3(c-a)^3+c^3(a-b)^3この問題で一応答えは分かったのですが、
解答にはa(b-c)+b(c-a)+(a-b)=0より、a(b-c)=X、b(c-a)=Y、c(a-b)=Z
とおけば、与式=X^3+Y^3+Z^3=3XYZ よって答は3abc(b-c)(c-a)(a-b) と書いてありました。
ここでなぜX^3+Y^3+Z^3=3XYZとなるのでしょうか。教えてください。

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sak********さん

2006/3/1522:06:17

X+Y+Z=0‥‥‥①

与式=X^3+y^3+z^3

=X^3+y^3+z^3-3xyz+3xyz (3xyzをひく代わりに足しておく)

=(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)+3xyz (ここで①を使用)

=0×(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)+3XYZ

=0+3XYZ

=3XYZ

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pui********さん

編集あり2006/3/1522:33:35

a(b-c)=X、b(c-a)=Y、c(a-b)=Zとおくと
X+Y+Z=a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=ab-ca+bc-ab+ca-bc=0となるから

X+Y+Z=0だから、Z=-X-Yです。
よって、
X^3+Y^3+Z^3-3XYZ=X^3+Y^3+{-(X+Y)}^3-3XY{-(X+Y)}=X^3+Y^3-(X+Y)^3+3XY(X+Y)
=X^3+Y^3-X^3-3X^2Y-3XY^2-Y^3+3X^2Y+3XY^2=0
となります。
したがって
X^3+Y^3+Z^3-3XYZ=0となることが示されました。
以上より、X^3+Y^3+Z^3=3XYZがいえました。

qed********さん

2006/3/1519:51:18

X+Y+Z=a(b-c)+b(c-a)+c(a-b)=0
より
X^3+Y^3+Z^3-3XYZ=(X+Y+Z)(X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-ZX)=0
∴X^3+Y^3+Z^3=3XYZ

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