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接平面を求める問題です

xdw********さん

2011/12/702:17:21

接平面を求める問題です

(1)球面:x^2+y^2+(z-1)^2=1の(1/√2,1/√2,1)における接平面
(2)螺旋面:X(ucosv,usinv,2v)の点X(2,π/4)における接平面
の2つです

(1)はF(x,y,z)=x^2+y^2+(z-1)^2-1=0とおいて
Fx(1/√2,1/√2,1)=√2
Fy(1/√2,1/√2,1)=√2
Fz(1/√2,1/√2,1)=0
を使って
Fx(1/√2,1/√2,1)(x-1/√2)+Fy(1/√2,1/√2,1)(y-1/√2)+Fz(1/√2,1/√2,1)(z-1)=0
をといて
x+y=√2
とでたのですが、略解ではz=0となっていました。

(2)はどうすればいいのかもわかりません

よろしくお願いします

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clickyさん

2011/12/708:37:00

(1)はあなたの解答が正しいと思います。図形としてイメージすれば、z=0 にはならず、x+y=√2 になることは明らかです。問題の間違いか略解の誤植でしょう。

(2)
x = u*cos(v)
y = u*sin(v)
z = 2v
連鎖律(連鎖定理)を使って1番目と2番目の式より
∂z/∂u
= ∂z/∂x*∂x/∂u + ∂z/∂y*∂y/∂u
= ∂z/∂x*cos(v) + ∂z/∂y*sin(v)
∂z/∂v
= ∂z/∂x*∂x/∂v + ∂z/∂y*∂y/∂v
= ∂z/∂x*u*(-sin(v)) + ∂z/∂y*u*cos(v)
3番目の式 z = 2v からは
∂z/∂u = 0,
∂z/∂v = 2
したがって
∂z/∂x*cos(v) + ∂z/∂y*sin(v) = 0
∂z/∂x*u*(-sin(v)) + ∂z/∂y*u*cos(v) = 2
これらを ∂z/∂x, ∂z/∂y の連立方程式として解くと
∂z/∂x = -(2/u)sin(v),
∂z/∂y = (2/u)cos(v)
求める接平面の式は
z - 4 = -(1/√2)(x-2/√2) + (1/√2)(y-2/√2)
整理すると
(1/√2)x - (1/√2)y + z = 4

質問した人からのコメント

2011/12/7 09:56:41

非常にわかりやすい回答有り難うございました

budewslakothさんも有り難うございました
今回はこちらをベストアンサーにさせて頂きます、すみません

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

bud********さん

2011/12/709:13:37

xdwnc377さん

接平面を求める問題です

(1)球面:x^2+y^2+(z-1)^2=1の(1/√2,1/√2,1)における接平面
(2)螺旋面:X(ucosv,usinv,2v)の点X(2,π/4)における接平面
の2つです

(1)はF(x,y,z)=x^2+y^2+(z-1)^2-1=0とおいて
Fx(1/√2,1/√2,1)=√2
Fy(1/√2,1/√2,1)=√2
Fz(1/√2,1/√2,1)=0
を使って
Fx(1/√2,1/√2,1)(x-1/√2)+Fy(1/√2,1/√2,1)(y-1/√2)+Fz(1/√2,1/√2,1)(z-1)=0
をといて
x+y=√2
とでたのですが、略解ではz=0となっていました。

(2)はどうすればいいのかもわかりません

よろしくお願いします

xdwnc377さん

接平面を求める問題です...

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