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幾何学のコンパクトです。 誰かお助けください! 離散距離空間(X,d)が点列コンパ...

rad********さん

2011/12/810:36:23

幾何学のコンパクトです。
誰かお助けください!
離散距離空間(X,d)が点列コンパクトであるための、必要十分条件は、Xが有限集合であることを示せ。

補足開被覆の説明をお願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

ber********さん

2011/12/816:49:17

(まず大切なのは、問題のどういう点が特殊なのかを十分認識することです。
今の場合、「離散距離空間」「有限集合」という部分がポイントです。
「点列コンパクト」って重要そうに見えますが、所詮ただの満たすべき性質であって標語みたいなものです。)

Xが点列コンパクトであるとする。
任意の点列x1, x2, x3, ...において、収束する部分列y1, y2, ...がとれる。(分かりやすくするために文字を変えましたが、部分列ですからynはもとの点列のどれか、例えばxmとかと一致します、分かってるとは思いますが念のため。)

(そしてここからが離散距離を用いた重要な点です!)
今、Xが有限集合でないと仮定する。点列xnとしてxn = a∈X s.t. a ≠ xk, 1 ≦ k ≦ n-1がとれる。
(つまり、常に今まで取ったことの無い点を選ぶ、ということです。有限集合でなければ候補はいくらでもありますから、大丈夫ですよね。)
このとき、任意の部分列ynについて、d(yn, ym) =1 (n ≠ m)であるから、ynは収束せず、点列コンパクトであることに矛盾。
よってXは有限集合である。
(今は背理法を使いましたが、回りくどいと思うなら対偶を証明するという形で「Xが有限集合でないならば、点列コンパクトではない」ことを証明すれば良いでしょう。)

(点列コンパクト⇒有限集合が示せましたから、今度は逆向きです。)
Xが有限集合であるとする。X上の任意の点列xnをとる。X上のある点aについて、xn = aとなるnは無限個存在しなければならない。
(すべての点について有限個しか対応するものがなければ、点の数が有限個なのですから、数列が有限で終わってしまいます!)
このようなaについて、xnの部分列ymをxn = aとなるすべての点、とすれば、収束する部分列となる。
(常に一定の場所に留まっているのですから、収束していると言えますね。)

以上より示された。

というわけです。
このまま丸写ししても答えにはなると思いますが、出来ればこの内容を消化して、自分の言葉で書くと理解が深まるでしょう。

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ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

suu********さん

編集あり2011/12/818:14:54

AをXのコンパクトな部分集合とする。
∀x∈Aに対して、U(x)={x}を考える。Xは離散空間だから1点からなる集合は開集合である。したがって、
∪_{x∈A}U(x)⊇Aより、{U(x)}_{x∈A}はAの開被覆である。Aはコンパクトだからこの中から有限個のU(x_1),...,U(x_n)を選んでAを覆うことが出来る。すなわち、
∪_{k=1}^{n}U(x_k)⊇A
このとき、U(x)の定義より、A={x_1,...,x_n}:有限集合
補足について
集合Aの開被覆とは、開集合族{G_λ}(開集合の集合)でその和∪_{λ}G_λがAを含む(∪_{λ}G_λ⊇A)ようなものです。文字通り集合Aを覆う開集合の集合ということになります。AがコンパクトであるということはAの任意の開被覆から有限被覆(有限個の開集合でAを覆うことが出来る)を取り出せるという性質です。

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