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ピタゴラスの数について

red********さん

2011/12/1411:07:09

ピタゴラスの数について

x^2+y^2=z^2・・・①
に適する自然数x,y,zはピタゴラスの数といいますが、この①の一般解を求める過程で、いくつか疑問があります

『 xは偶数、yは奇数、(x,y)=1・・・②
の条件のもとで考え、xが偶数、yが奇数なら、zは奇数となるので、①を変形して
x^2=z^2-y^2 ∴ x^2=(z+y)(z-y)
としたとき、z+y、z-yも偶数となり、ここで
x=2m, z+y=2n, z-y=2k ∴ x=2m, y=n-k, z=n+k・・・③
とおくと
4m^2=4nk ∴ m^2=nk・・・④
ところが、一方、x,yが互いに素ならば、①からy,zも互いに素、したがってまた、n,kも互いに素なるので、④において
n=a^2, k=b^2, a>b>0, (a,b)=1・・・⑤
でなければならず、③、④から
x=2ab, y=a^2-b^2, z=a^2+b^2・・・⑥
が得られる.ただし②のyは奇数という条件から
a,bの一方は偶数、他方は奇数・・・⑦
でなければならない 』

(1)なぜ (x,y)=1⇒(y,z)=1⇒(n,k)=1 となるのか?
そして④において⑤のように定めなければならないのか?
(2)逆に⑤、⑦の条件の下に、⑥から②の(x,y)=1がわかるのか?

詳しい説明が欲しいです

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ベストアンサーに選ばれた回答

wat********さん

2011/12/1411:19:41

(1)もしyとzに共通の素因数があれば,(①から得られる)x^2=z^2-y^2もその素因数の倍数になるので,xとyがともにその素因数で割りきれることになりますから,(y,z)=1です。
もしnとkに共通の素因数があれば③からyとzはともにその素因数の倍数となるので,(y,z)=1に反します。

(2)それはこの説明の中では示されていませんが,上と同じような話です。もしxとyに共通の素因数(yが奇数なのでそれは奇数)があれば,x=2abであるからaかbのどちらか片方だけがその素因数の倍数です。y=(a+b)(a-b)であってa+bもa-bもその素因数の倍数ではないので,yはその素因数の倍数ではないということになって矛盾が生じます。

質問した人からのコメント

2011/12/16 09:51:51

ありがとうございました
腑に落ちました

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