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コッホ曲線について質問させてください。フラクタルって物理学のカテゴリーでよか...

not********さん

2012/2/2610:09:36

コッホ曲線について質問させてください。フラクタルって物理学のカテゴリーでよかったでしょうか。教科書には、コッホ曲線は全長が発散し、相似次元はlog4/log3となっています。しかし針金で作るとそうなりません。

教科書(注)に記述されているコッホ曲線の幾何学的構成法は各部分でテントを張るのに長さ1/3倍の線分が1本追加で必要になります。コッホ曲線を描くのに外部から無限に線分が供給される前提です。線分が供給されない立場をとります。

長さLの1本の針金を用意します。イニシエーターです。針金を4等分して、まん中の2本を折り曲げてテントを作ります。図1.6のジェネレーターに比べて縮小率が3/4の形ができます。次に長さ1/4の各部分に同じ操作を繰り返し、小さなテントをそれぞれの部分に作ります。ステップ2に比べての縮小率が(3/4)^2の形ができます。この操作をn回繰り返しますと図1.6に比べると縮小率が(3/4)^nの小さなコッホ曲線ができます。1本の針金を折り曲げて作っていくので、無限回繰り返してもコッホ曲線の全長は、もとの針金の長さLのままです。

各部分において縮小率が1/4で4つに分割されるので、相似次元はlog4/log4=1で整数値になります。フラクタルはスケールに依存しないので、相似次元が1の小さなコッホ曲線もフラクタルではないでしょうか。1/3をlog4/log3でべき乗しますと、
(1/3)^ log4/log3=1/4になります。相似次元は縮小率1/3を1/4に換算する役割、すなわち保存系に変換する役割を担っているのではないでしょうか。

全長は発散し質量が保存されるコッホ曲線を作ります。物理的な概念である質量=長さ×比重を持ち込みます。
(1/3)^ log4/log3=1/4=(1/3)×(3/4)です。1/3をlog4/log3でべき乗することは1/3に3/4かけることは数学的に同値です。この3/4を比重とみなすと、1個あたりの質量が1/4になり、分割個数は4個なので保存系です。
コッホ曲線を作るとき、まず、針金を引っ張って各部分を4/3倍に伸ばします。相似変換です。針金の比重は3/4倍になり針金は細くなります。次ぎに4等分して真ん中の2本でテントを作ります。その操作を繰り返せば、図1.6と同じ大きさの、全体スケールの変わらないコッホ曲線ができます。無限に繰り返すと長さは無限大になり、比重は無限小(針金は無限に細く)になりますが、針金の質量(=長さ×比重)は所与のまま保存されます。



(注)非線形科学入門1「フラクタル」(朝倉書店)8頁

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run********さん

2012/3/114:33:13

考え方はすばらしいです。

針金を有限回折り曲げた場合、当然、3倍拡大したとき3倍の量になりますので、1次元です。
ということは、針金をx回折り曲げたときの次元をyとして関数にすると、「y=1」になります。xの値によらないので、xを∞にしたところでy=1、つまり1次元のままです。
分かりやすく言えば、針金を折り曲げるという動作はコッホ曲線に近づけることにはならないということです。

コッホ曲線の端から端までの長さを決めておいてから、どんどん複雑にした場合、線の長さは∞に向かっていきますから、極限としてlog3 4次元になるわけです。
線の長さを一定に保ったままでは、極限をとっても1次元のままなのです。

質問した人からのコメント

2012/3/1 16:25:12

ご回答ありがとうございます。私、質問して厳しいご叱責を何回か頂戴しています。「考え方は素晴らしい」とお褒めいただき嬉しいです。私は相似次元の異なるコッホ曲線が存在してもいいような気がします。現実の海岸線はコッホ曲線によく似てますが、フラクタル次元はlog4/log3と相違します。静的な幾何学としてのコッホ曲線ではなくて、相似次元をフラクタル図形の動的な生成工程の手続きとして捉えることはできないでしょうか。

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