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開集合について。 距離空間(X,d)、Y⊂Xについて、(Y,p)はその部分距離空間とす...

lax********さん

2012/3/316:11:12

開集合について。
距離空間(X,d)、Y⊂Xについて、(Y,p)はその部分距離空間とする。

部分集合A⊂Yが(Y,p)の開集合である必要十分条件は、A=Y∩Oである(X,d)の開集合Oが存在することであることを示せ。

”部分集合A⊂Yが(Y,p)の開集合”から”開集合Oが存在する”は証明できますが逆が証明できません。
教えてください。

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ベストアンサーに選ばれた回答

kag********さん

2012/3/318:43:01

(Y,p)が距離空間(x,d)の部分距離空間,A⊂Y
A=Y∩Oを満たす(x,d)の開集合Oが存在する
⇒AがYの開集合
証明
Aの各点xに対し,
OはXの開集合だから
Vε(x)⊂Oを満たすxの近傍Vε(x)がとれる。
Vε(x)∩Y⊂O∩Y=A
∴ AはYの開集合

質問した人からのコメント

2012/3/4 13:41:30

ありがとうございます。

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kyo********さん

2012/3/318:23:28

Ny(a)={z| p(a,z)<δ}={z| d(a,z)<δ,z∈Y } = Nx(a)∩Y

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