f(x)がxの2次式のとき、f(p)f(q)<0ならば方程式f(x)=0はpとqの間に実数解を持つ。 どうしてf(p)f(q)<0

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どの単元か分かりませんが、中間値の定理から導かれます。 条件 f(p)f(q) < 0 から f(p), f(q) は 0 でなく、異符号であること が分かります。 まず p < q かつ f(p) < 0 < f(q) であるとすると、二次関数 f(x) は p ≦ x ≦ q で連続なので、中間値の定理から p ≦ r ≦ q と なる r が存在して f(r) = 0 を満たします。また f(p) ≠ 0, f(q) ≠ 0 より r ≠ p, r ≠ q となるので p < r < q が分かります。 つまり、この r は方程式 f(x) = 0 の解であり p と q の間にある ことを意味します。 ここで q < p や f(q) < 0 < f(p) の場合も全く同様なので省略します。

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f(p)f(q)<0より,f(p)とf(q)は正・負か負・正で符号が異なる。 一般に2次関数は「減少から増加」,または,「増加から減少」する。 よって,y=f(x)はy=0と2点で交わり,f(x)=0は異なる2実数解を持つ。 2実数解をα,β(α<β)とおくと f(x)=a(x-α)(x-β), aは0でない定数 f(p)f(q)<0から a^2(p-α)(p-β)(q-α)(q-β)<0 (p-α)(p-β)(q-α)(q-β)<0 左辺は(p-α)(p-β)と(q-α)(q-β)の積だから、正・負か負・正で符号が異なる。 場合分けして (1) (p-α)(p-β)>0,(q-α)(q-β)<0のとき p<α または β<p, α<q<β ∴p<α<q<β または α<q<β<p (2) (p-α)(p-β)<0,(q-α)(q-β)>0のとき α<p<β, q<α または β<q ∴q<α<p<β または α<p<β<q いずれの場合でも,pとqの間に異なる2実数解の内の1個だけ持つことが示された。