kum********

2006/6/7 8:20

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f(x)がxの2次式のとき、f(p)f(q)＜0ならば方程式f(x)=0はpとqの間に実数解を持つ。 どうしてf(p)f(q)<0

f(x)がxの2次式のとき、f(p)f(q)＜0ならば方程式f(x)=0はpとqの間に実数解を持つ。 どうしてf(p)f(q)<0 f(x)がxの2次式のとき、f(p)f(q)＜0ならば方程式f(x)=0はpとqの間に実数解を持つ。 どうしてf(p)f(q)<0なら成り立つのでしょうか？

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ベストアンサー

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o_o********

2006/6/7 9:00

数学の問題にはむだな記述はなく、問題全部がヒントなのです。 まず、f(x)が２次式という記述はつまりY＝f(x)というグラフは放物線であってそれを書いてくださいというヒントなのです。常に２次式の問題が出たら、理屈で考えないでまずグラフを書くようにしてください。 放物線は上向きと下向きがあり、またY=0と交わっているかいないかで全部で６通り描く事ができますので描いてください。なれると描かなくてもわかるようになります。 次にf(p)f(q)<0とは何を意味するか考えます。これは ①f(p)<0かつf(q)>0 ②f(p)>0かつf(q)<0 のことなのです。①と②どちらでもかまわないということです。 XがPのときの放物線のYの値とXがｑのときの放物線のYの値がY＝０の上下に別れる場合ということなのです。実際にグラフをみて①、②となるようなPとｑを探してみてください。そうすると必ずそのグラフはY=0と交わっているのです。つまりf(x)＝０が解を持つということなのです。

その他の回答（2件）

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灰色トム号

2006/6/7 10:58

どの単元か分かりませんが、中間値の定理から導かれます。 条件 f(p)f(q) < 0 から f(p), f(q) は 0 でなく、異符号であること が分かります。 まず p < q かつ f(p) < 0 < f(q) であるとすると、二次関数 f(x) は p ≦ x ≦ q で連続なので、中間値の定理から p ≦ r ≦ q と なる r が存在して f(r) = 0 を満たします。また f(p) ≠ 0, f(q) ≠ 0 より r ≠ p, r ≠ q となるので p ＜ r ＜ q が分かります。 つまり、この r は方程式 f(x) = 0 の解であり p と q の間にある ことを意味します。 ここで q < p や f(q) < 0 < f(p) の場合も全く同様なので省略します。

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clicky

カテゴリマスター

2006/6/7 10:54

f(p)f(q)<0より,f(p)とf(q)は正・負か負・正で符号が異なる。 一般に2次関数は「減少から増加」,または,「増加から減少」する。 よって,y=f(x)はy=0と2点で交わり,f(x)=0は異なる2実数解を持つ。 2実数解をα,β(α<β)とおくと f(x)=a(x-α)(x-β), aは0でない定数 f(p)f(q)<0から a^2(p-α)(p-β)(q-α)(q-β)<0 (p-α)(p-β)(q-α)(q-β)<0 左辺は(p-α)(p-β)と(q-α)(q-β)の積だから、正・負か負・正で符号が異なる。 場合分けして (1) (p-α)(p-β)>0,(q-α)(q-β)<0のとき p<α または β<p, α<q<β ∴p<α<q<β または α<q<β<p (2) (p-α)(p-β)<0,(q-α)(q-β)>0のとき α<p<β, q<α または β<q ∴q<α<p<β または α<p<β<q いずれの場合でも,pとqの間に異なる2実数解の内の1個だけ持つことが示された。