互いに素な二数の和と積どうしも互いに素になることはどうやって証明すればい...

ghrdjjhhjtfhjさん

2012/4/2900:37:42

互いに素な二数の和と積どうしも
互いに素になることはどうやって
証明すればいいのですか❓

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fortessimo173さん

2012/4/2901:06:47

a.bを互いに素な整数とする
abとa+bが互いに素でないと仮定して
その公約数の1つをk(k:素数)，また整数p.qを用いて

ab=pk …①
a+b=qk …②

と表される．

①よりaが素因数kを持つとしても一般性を失わず
②より

b=(a+b)-a=qk-(kの倍数)=(kの倍数)

となるので，bもまたkを素因数に持つ
これはaとbが互いに素という条件に反する

したがってabとa+bは互いに素

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質問した人からのコメント

2012/4/29 04:57:39

ありがとうございました❗

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yumedeaetara1972さん

2012/4/2901:22:23

a.bを互いに素な整数とする。abとa+bが互いに素でないと仮定してその公約数の1つをk(k:素数)，また整数p.qを用いて
ab=pk …①
a+b=qk …②
と表される．

[①よりaが素因数kを持つとしても一般性を失わず]
が奇妙。

素直にab=pkよりaまたはbが素数kを因数にもつので、aが素数kを因数にもつとしても一般性を失わない(a,bを変えても同じという意味)、とした方が自然でわかりやすい、と思う。