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互いに素な二数の和と積どうしも 互いに素になることはどうやって 証明すればい...

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ghr********さん

2012/4/2900:37:42

互いに素な二数の和と積どうしも
互いに素になることはどうやって
証明すればいいのですか❓

閲覧数：
4,330
回答数：
2

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for********さん

2012/4/2901:06:47

a.bを互いに素な整数とする
abとa+bが互いに素でないと仮定して
その公約数の1つをk(k:素数)，また整数p.qを用いて

ab=pk …①
a+b=qk …②

と表される．

①よりaが素因数kを持つとしても一般性を失わず
②より

b=(a+b)-a=qk-(kの倍数)=(kの倍数)

となるので，bもまたkを素因数に持つ
これはaとbが互いに素という条件に反する

したがってabとa+bは互いに素

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質問した人からのコメント

2012/4/29 04:57:39

ありがとうございました❗

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yum********さん

2012/4/2901:22:23

a.bを互いに素な整数とする。abとa+bが互いに素でないと仮定してその公約数の1つをk(k:素数)，また整数p.qを用いて
ab=pk …①
a+b=qk …②
と表される．

[①よりaが素因数kを持つとしても一般性を失わず]
が奇妙。

素直にab=pkよりaまたはbが素数kを因数にもつので、aが素数kを因数にもつとしても一般性を失わない(a,bを変えても同じという意味)、とした方が自然でわかりやすい、と思う。

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