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中一の数学の問題です。 私がだした答えは、60立方センチメートルなのですが、解...

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ID非公開さん

2012/4/2906:01:54

中一の数学の問題です。
私がだした答えは、60立方センチメートルなのですが、解答では52立方センチメートルです。
わかるように教えて下さい。
よろしくお願いします。

右の図のように1 辺6cm の立方体がある。AJ=AK=2cm である。
4 点J,K,H,F を通る平面で2 つの立体に分ける。
頂点A を含むほう(小さいほう)の立体の体積を求めよ。

体積,三角錐,三角錐P-AJK,三角錐P-EFH,相似,O-EFH,体積比

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ベストアンサーに選ばれた回答

zuz********さん

2012/4/2909:53:26

中1なので相似を使った解法は難しいが、使わないと面倒だし、この問題をきいてきたということで理解できるかなって気はします。
個人的な推測ですが
この問題を解ける人は
中1だと5%もいないでしょう。
高校生でも10%いない気がします。
ちなみに角錐台の体積の公式で
上底面積をa
ちょうど真ん中の高さで切った断面積をb
下底面積をc

高さをhとすると

角錐台の体積は
(a+4b+c)h/6

これを使うと
(2+8×4+18)×6/6=52
かなり楽です。

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質問した人からのコメント

2012/5/2 07:41:09

感謝 みなさん、とてもわかりやすい回答でありがとうございます。どれをベストアンサーにすべきかまよってしまいましたが、速さできめさせていただきました。ありがとうございます。

ベストアンサー以外の回答

1〜5件/7件中

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ken********さん

2012/4/2906:48:00

AE,JF,KHを延長すると,1点Pで交わるので,
求める立体(角錐台)の体積は,
三角錐P-EFHの体積から,三角錐P-AJKの体積をひいたものになります。

まず,△PAJ∽△PEFを使って,PA=xを求めると,
PA:PE=AJ:EF
x:(x+6)=2:6
6x=2(x+6)
6x=2x+12
4x=12
x=3.....PA=3,PE=9 がわかりました。

三角錐P-EFHの体積
=(6×6×1/2)×9×1/3
=18×3
=54

三角錐P-AJKの体積
=(2×2×1/2)×3×1/3
=2

よって求める角錐台の体積は,
54-2
=52(cm³)
となります。

<余談>
三角形の相似を使うことになるので,中一ではちょっと無理な問題かもしれません。

AE,JF,KHを延長すると,1点Pで交わるので,
求める立体(角錐台)の体積は,...

sin********さん

2012/4/2906:42:22

JF、KH,AEの延長線をとると一点で交わりこれをPとします。
するとP-AJKという三角錐とP-EFHという三角錐を見つけることが出来ます。

求めたい答え立体AJKEFHは(三角錐P-EFH)から(三角錐P-AJK)を引いたものなのでこれの体積引き算すれば良いわけです。

点Pの位置についてはAEとJFの交点を求めると平面の問題に帰着するのでそれで求めてください。

pri********さん

編集あり2012/4/2906:38:58

皆様の回答は合っているんですが、、、、、現在中1ですよね?確かに小6で軽く相似は習いますが、相似比を利用しての図形問題、ましてや体積比は中3で習いますので、(しかも移行措置で今年から教科書に載りましたよね?)それで回答をしてあげるのは酷かとおもいますが、、、、。もし質問主様が高校生なら別ですが。。。。

kik********さん

2012/4/2906:29:15

EA、FJ、HKを上のほうに延長して交差した一点をOとします。

そうすると、O-AJKとO-EFHは相似で、相似比は

AJ:EF=2:6=1:3

よって、体積比は

O-AJK:O-EFH=1^3:3^3=1:27

また、(OA+AE):6=OA:2

∴6OA=2(OA+AE)=2(OA+6)

6OA=2OA+12

4OA=12

OA=3

よって、

O-AJK=1/3・(1/2・2・2)・3=2

O-EFH:O-AJK=27:1

∴O-EFH:2=27:1

O-EFH=2・27=54

∴AJK-EFH=(O-EFH)-(O-AJK)=54-2=52(cm^3)

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nij********さん

2012/4/2906:20:23

題意より、
直線EA,FJ,HKの交点を
Oとしますね。
三角錐OEFH,OAJK
に分割します。
この二つは相似比が6:2=3:1ですから、
体積比葉、3^3:1^3=27:1
求める体積Vは、
V=(1/3)x(1/2)xEFxEH))xOEx(26/27)
=(1/6)x6x6x9x(26/27)
=52(cm^3)

なぜならば、
(三角錐OEFHの体積)x(1-(1/27))

OA:OE=6:2=3:1
OA=a(cm)
(a+6):a=3:1
3a=a+6
2a=6
a=3

<参考>
O
|.....a
A
|.....:
|....6
|
E

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