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熱力学について教えて下さい

kit********さん

2012/5/1719:26:29

熱力学について教えて下さい

図のように水平に置かれ,空気が封入された断面積0.5m^2のピストン・シリンダ装置を考える.このシリンダ内部には電気ヒータ-が取り付けられている.初期状態では,シリンダ内部の空気圧力は大気圧と等しく,ピストン内面とシリンダ内端面との距離は1.8mであった.またシリンダ内の温度は27℃であった.ピストン・シリンダには摩擦が無く,ピストン・シリンダ内部と外部との間の熱移動は無視できるものとする.また,以下の全ての過程は準静的であるものとする.
次にピストン内面に,ばね定数275kN/mの線形ばねを,ピストンにカがかからぬように取り付ける.この状態で,ヒーターに100Vの電源から5Aの電流を8秒間だけ流して加熱したところ,ばねが0.2m伸びた(状態A).このとき,以下の設問に答えよ.ただし大気圧を100kPaとする.空気は理想気体であると仮定し,その気体定数を0.3kJ/(kg・K)とする.空気の定圧比熱は1.OkJ/(kg・K)とし,シリンダ内の空気の温度と圧力の分布は一様とする.またヒーターに加える電力がすべて熱に変換されるとし,ばね,支持機構およびヒ-ターの容積や熱容量は無視する.
(1)シリンダ内の空気の質量を求めよ.
(2)加熱終了後のシリンダ内の絶対圧力を求めよ.
(3)加熱終了後のシリンダ内の絶対温度を求めよ.
(4)シリンダ内の空気を加熱するとシリンダ内の圧力が増加するのはなぜか.空気が分子の集合体であることを考慮して説明せよ.
(5)加熱によるシリンダ内の空気の内部エネルギーの増加量を求めよ.
(6)以上のことより,tの値を求めよ.
続いて,ピストンに力がかからぬようばねを外し,シリンダ内の温度が一定に保たれるようにヒーターで加熱したところ,シリンダ内部の空気圧力は大気圧と等しくなってピストンが静止した(状態B).状態Aから状態Bに移行する過程(過程A。B)について,以下の設問に蓉えよ.
ただし,過程A-B停おけるピストンの変位量に対してシリンダは十分長いものとする.
(7)過程A-Bにおけるピストンの変位を求めよ.
(8)過程A-Bにおいて,シリンダ内の空気が外部になした仕事を求めよ.
(9)過程A-Bにおいて,シリンダ内の空気がヒーターから得た熱量を求めよ.

この問題の解き方が分からないので教えて下さい

よろしくお願いします.

大気圧,シリンダ内部,ピストン・シリンダ,過程A-B,ヒーター,Px0.5,m0.3x10

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pla********さん

2012/5/1914:24:16

(1)始めの状態; 容積1.8x0.5=0.9 m^3、温度300K、圧力100kPaで質量をm kgとします。
100x10^3x0.9=m0.3x10^3x300
m=1 kg

(2)加熱後の内圧をPとすると力のつり合いは
Px0.5=100x10^3x0.5+0.2x275x10^3・・・①
P=2.10x10^5 Pa

(3)加熱後の気体の状態方程式は
2.10x10^5x(2x0.5)=1x0.3x10^3xT
T=700 K

(4)加熱すると分子の運動エネルギーが上昇するので圧が上昇します。

(5)理想気体の内部エネルギーは温度のみに依存するので増加量は以下のようになります。
ΔU=CvΔT=(Cp-R)ΔT=(1x10^3-0.3x10^3)(700-300)=2.80x10^5 J・・・②

(6)tとはなんでしょう?そもそも8秒の加熱では内部エネルギーの上昇を説明できないからt秒加熱したと考えてみます。ΔU=Q+Wから
ΔU=100x5xt-∫PdV・・・③
①の力のつり合いの式で、ばねの伸びをyとすれば
Px0.5=100x10^3x0.5+275x10^3y
P=1.00x10^5+5.50x10^5y・・・④
④を③へ代入します。dV=0.5dyになっています。(伸びyを正にとるとdVも正になります。)
2.8x10^5=500t-∫(1.00x10^5+5.5x10^5y)0.5dy
y=0から0.2まで積分します。
2.8x10^5=500t-0.5(1.00x10^5x0.2+(1/2)5.5x10^5x0.04)
2.8x10^5=500t-1.55x10^4
t=591 sec
ということでないですか?

(7)ばねがなくなって1 atm, 700 Kに保たれているのですから状態方程式は
1.0x10^5xV=1x0.3x10^3x700
V=2.10 m^3
となります。圧が1/2.1になるので体積が2.1倍です。ピストンの変位の長さは
2.1/0.5-2=4.2-2=2.2 m
で2 mから4.2 mになり2.2 m動きます。

(8)外部になした仕事がプラスになるように計算すると等温可逆膨張では次のようになります。
w=∫PdV=RT∫(1/V)dV=0.3x10^3x700xln(2.1/1)=1.56x10^5 J

(9)等温で(8)の仕事をしたのですから、これだけの熱を供給してもらう必要があります。よってヒーターからもらう熱も
1.56x10^5 J
です。

質問した人からのコメント

2012/5/20 11:50:53

すみません 問題文打ち間違えてしまってました.(8→t)
解答ありがとうございます

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