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分かりやすい解法を教えていただけると助かります。 2つの不等式 x2-9x+18≦0...

yxb********さん

2012/7/609:17:57

分かりやすい解法を教えていただけると助かります。
2つの不等式 x2-9x+18≦0、x2-(α+2)x+2α>0を同時に成立させるxの整数解が6のみになる場合、定数αの範囲として妥当なのはどれか。xは実数とする。

答え 5<α≦6

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shi********さん

編集あり2012/7/612:47:06

x^2-9x+18≦0 より、3≦x≦6 …①
x^2-(α+2)x+2α>0 より、(x-2)(x-α)>0 …②
α<2の場合、②より、x<α、2<x となるので、①とあわせると、3≦x≦6 となり、これを満たす整数解は3、4、5、6となるので不適
α=2の場合、②より、x≠2の全ての実数となるので、①とあわせると、3≦x≦6 となり不適
α>2の場合、②より、x<2、α<x となるので、①とあわせると、x<2は不適
2<α<5のとき、整数解に5を含むので不適
α=5のとき、②より、x<2、5<x となるので、①とあわせると、5<x≦6より整数解は6のみ
α=6のとき、②より、x<2、6<α となるので、①とあわせると、解なしなので不適
5≦α<6のときに条件に適する。
よって、整数解が6のみならば、5≦α<6

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bxh********さん

2012/7/610:48:58

x^2-9x+18<=0
(x-3)(x-6)<=0
3<=x<=6・・・①

x^2-(α+2)x+2α>0
(x-2)(x-α)>0・・・②

②について(数直線上に起して考えてください)

x<α、2<x・・ア
x<2、α<x・・イの場合ある

ア)

①との共有範囲が
2<x<=6となり
xの整数解が3、4、5、6になって題意に反します

イ)
αは①の範囲であることより、かつ整数解6のみなので
5<α<=6なら
5<x<=6となり整数解1つ6を

満たします。

よってαの範囲は

5<α<=6

kum********さん

2012/7/610:01:13

入力の簡便化のため、αをaと書きます。

x^2-9x+18<=0 ①
x^2-(a+2)x+2a>0 ②

①より
(x-3)(x-6)<=0
3<=x<=6 ③

②より
(x-a)(x-2)>0

a<2のとき、x<a,2<x
aの値にかかわらず、3,4,5,6が解になるので、不適

a=2のとき、x<2,2<x
3,4,5,6が解になるので、不適

a>2のとき、x<2,a<x
a<x<=6の整数xが6だけになればいい。

・・・でもこれだと、答えは5<=a<6になります。
問題は合ってますか?
本当にx^2-(a+2)x+2a>0ですか?
x^2-(a+2)x+2a>=0じゃないですか?
もしx^2-(a+2)x+2a>=0なら
a<=x<=6の整数xが6だけになればいいことになり、
5<a<=6となります。

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