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数Ⅱの問題がわかりません。教えてください。 xy平面上の点(0,1)を中心とする半径1...

tyy********さん

2012/7/2207:02:33

数Ⅱの問題がわかりません。教えてください。
xy平面上の点(0,1)を中心とする半径1の円をCとし、第一象限にあってx軸とCに接する円C(1)を考える。

次に、x軸、C、C(1)で囲まれた部分にあって、x軸とこれら2円に接する
円をC(2)とする。以下同様にC(n) (n=2,3・・・)をx軸とC、C(n-1)で囲まれた部分にあって、これらに接する円とする。
(1) C(1)の中心のx座標をaとするとき、C(1)の半径r(1)をaを用いて表せ。
(2) C(n)の半径r(n)をaとnを用いて表せ。

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day********さん

2012/7/2218:42:44

(1)
C、C1の中心を結ぶ線分

Cの中心を通る軸と平行な直線

C1中心を通る軸と平行な直線

この3直線で直角三角形をつくり
3平方の定理より
(r1+1)^2=|r1-1|^2+a^2

整理すると
r1=a^2/4
a=2(r1)^(1/2)


(2)

(1)と同様に
Cn-1とCnで直角三角形を考える

さらに(1)で求めた
a=2(r1)^(1/2)
より
Cn-1とCnの中心のx座標は
2(r(n-1))^(1/2)および
2(rn)^(1/2)

よって3平方の定理より
2(r(n-1))^(1/2)および
2(rn)^(1/2)

{r(n-1)+rn}^2
={r(n-1)-rn}^2
+
[2(r(n-1))^(1/2)-2(rn)^(1/2)]^2

必死に整理すると

[(r(n-1))^(1/2)-(rn)^(1/2)]^2
-[{r(n-1)(rn)}^(1/2)]^2
=0

因数分解し
r(n-1)>rnを考慮すると

(r(n-1))^(1/2)-(rn)^(1/2)-{r(n-1)(rn)}^(1/2)=0

両辺{r(n-1)(rn)}^(1/2)
で割り

1/(rn)^(1/2)-1/(r(n-1))^(1/2)=1

{1/(rn)^(1/2)}は
初項1/(r1)^(1/2)=2/a
公差1
の等差数列

よって
1/(rn)^(1/2)
=(na-a+2)/a

で、
rn
={a/(na-a+2)}^2

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