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数学の図形の問題です

han********さん

2012/8/2221:07:51

数学の図形の問題です

AB=BC=CD、BD=CE、
AB//CE、BC//DE
角ACD=角BED
のときの角DAE
がわかりません
どなたか教えてくれませんか?

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ベストアンサーに選ばれた回答

pu_********さん

2012/8/2408:29:29

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四角形BCDEにおいて、点B、点Cから直線DEに垂線を下ろし、その足をそれぞれ点P、点Qとする。

△BDPと△CEQにおいて、BD=CE、BP=CQ(なぜならBC//DE)だから、斜辺とその他の1辺の長さが等しいので、△BDP≡△CEQ。 よって、∠BDE=∠CED。 またBC//DEより、∠BDE=∠CED=∠CBD=∠BCE ・・・①

これにより、4点B,C,D,Eは同一円周上にある。

さらに△BCDはBC=CDなる二等辺三角形であるから、∠CBD=∠CDB ・・・②
円周角の定理より∠CDB=∠BEC ・・・③

△ABCはAB=BEなる二等辺三角形だから、∠BAC=∠BCA。
AB//CEより∠BAC=∠ECA。 よって、∠BAC=m(0°<m<180°)とすると、∠BCE=2m。 ∠BCA=m
①、②、③より、∠BEC=∠CED=∠CBD=∠CDB=2m

∠ACD=∠BED=∠BEC+∠CED=4m。 ∠BCD=∠BCA+∠ACD=5m
△BCDにおいて、∠CBD+∠CDB+∠BCD=2m+2m+5m=9m=180° ∴m=20°

△BECも二等辺三角形であるから、BC=BE。 よって、AB=BEとなり、△ABEは二等辺三角形。
∠BEC=∠ABE(AB//CE)=40°だから、∠BAE=70°。 ∠CAE=∠BAE-∠BAC=50° ・・・④

ここで、∠CDBの二等分線を引き、ACとの交点をF、ACとBDの交点をGとする。

△DCFにおいて、∠CDF=20°、∠FCD(ACD)=80°だから、∠CFD=80°となり、△DCFはDC=DFなる二等辺三角形。
よって、AB=DF ・・・⑤

△ABGと△DFGにおいて、AB=DF(⑤)、∠BAG=∠FDG=20°・・・⑥、∠ABG=∠ABE+∠EBD=∠ABE+∠DCE=40°+60°=100°、∠DFG=∠CDF+∠DCF(ACD)=20°+80°=100°より、∠ABG=∠DFG ・・・⑦。 1辺とその両端の角の大きさが等しいので、△ABG≡△DFG。 AG=DGとなり、△AGDは二等辺三角形。 ∠AGD=∠ACD+∠CDB=80°+40°=120° ⇒ ∠GAD=30°

∴∠DAE=∠CAE-∠GAD=50°-30°=20°・・・(答)

(再投稿)...

質問した人からのコメント

2012/8/24 20:35:07

ありがとうございます!
助かりました

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