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n−1Σ(k=0)nCk(-1)^(n-k) =nΣ(k=0)nCk(-1)^(n-k)-1 二項定理でなるみたいなん...

k_u********さん

2012/9/3016:38:44

n−1Σ(k=0)nCk(-1)^(n-k)
=nΣ(k=0)nCk(-1)^(n-k)-1
二項定理でなるみたいなんですが、よくわかりません。解説お願いします。

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ベストアンサーに選ばれた回答

suz********さん

編集あり2012/10/411:20:47

(注) を読んでください。

問題が次の内容と考えて回答します。

Σ[k=0→n-1]nCk(-1)^(n-k)=(Σ[k=0→n]nCk(-1)^(n-k))-1 を示せ。



右辺のΣ[k=0→n]nCk(-1)^(n-k)をk=0→n-1 とk=n に分ければ、

Σ[k=0→n]nCk(-1)^(n-k) =(Σ[k=0→n-1]nCk(-1)^(n-k))+nCn(-1)^(n-n)

=(Σ[k=0→n-1]nCk(-1)^(n-k))+1*(-1)^(0)

=(Σ[k=0→n-1]nCk(-1)^(n-k))+1

よって、

右辺=(Σ[k=0→n]nCk(-1)^(n-k))-1

......={(Σ[k=0→n-1]nCk(-1)^(n-k))+1}-1

......=Σ[k=0→n-1]nCk(-1)^(n-k)=左辺

(注)

もしかしたら、Σ[k=0→n]nCk(-1)^(n-k)=0 を示したいのではないですか?

二項定理より、

(a+b)^n=Σ[k=0→n]nCk*a^(n-k)b^kですから、a=-1,b=1を代入すると、

(-1+1)^n=Σ[k=0→n]nCk*(-1)^(n-k)*1^k

よって、左辺は0より、

Σ[k=0→n]nCk*(-1)^(n-k)=0

質問した人からのコメント

2012/10/6 09:41:41

たすかりました。ありがとうございます

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