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写像f:X→Y が単射である必要十分条件は、写像g:Y→Xでg○fが恒等写像になるも...

jon********さん

2012/10/1811:02:58

写像f:X→Y が単射である必要十分条件は、写像g:Y→Xでg○fが恒等写像になるものが存在することを示してください。

写像f:X→Y が単射である必要十分条件は、写像g:Y→Xでg○fが恒等写像になるものが存在することを示してください。

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tak********さん

2012/10/1812:36:11

(十分性) fが単射であることを示すには、「f(x)=f(x') ⇒ x=x'」ということを示します。
f(x)=f(x')
⇒ g○f(x)=g○f(x')
⇒ id[X](x)=id[X](x')
⇒ x=x

(必要性) fの値域を Im(f) と書くことにします。fが単射であれば、方程式 f(x)=y の解は、 y∈Im(f) のときはちょうど1個あり、 y∈Y\Im(f) のときは存在しません。そこで、 x[0]∈X を1つ決めて、gを次のように定義します。
g: Y→X
y∈Im(f) のとき g(y)=x ただし x は y=f(x) の唯一の解
y∈Y\Im(f) のとき g(y)=x[0]
このように定義すると、 g○f は恒等写像となります。

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