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予備校で物理の先生が余興的に出した問題です 地表から仰角θ(0≦θ≦π/2)初速Vで...

duck8547さん

2012/11/1015:26:24

予備校で物理の先生が余興的に出した問題です

地表から仰角θ(0≦θ≦π/2)初速Vで打ち上げた質量mの質点が、
図のような地球半径からの角φ(ー3π/2≦φ≦π/2)で地表に落下した
このときθをφの関数で表せ

以下にその他の条件を記します

地球は完全な円と見なします。空気抵抗は考えません。地表は図のy=Rとしています。
質点の運動は地球の中心(図の原点)と発射点をむすぶ線分を含み、
質点の初速度ベクトルに平行な平面内(図のxy平面)のみを運動するものとします。
φの正方向は図のx軸の正方向から反時計回りとします。
地球の質量:M 地球半径:R 万有引力定数:G とし
φ=π/2 のとき θ=0 かつ φ=ーπ/2 のとき θ=π/4 とします。
なおVはこの条件の下での最小値をとるとされています。

なお答えは θ=π/8 ーφ/4 となることは聞きました。その導出過程が分かりません。
大学受験の予備校で出された問題なので多少の高校過程からの逸脱はあると思われます。
例えば簡単にですが微分方程式や極座標系での運動方程式は授業で習った事があります。
それに準ずるレベルの知識で記述できるものであるらしいです。
なのでなるべく初歩的な手法での解説をお願い致します。
色々と無理なことを言って申し訳ありません。ヒントだけでも結構ですのでどうか回答を
宜しくお願い致します。

質点,地表,予備校,地球半径,x軸,jodanjodan,vcos

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guora_hasooさん

2012/11/1101:38:34

質問した者です
jodanjodanさんの Φ+φ=π/2 はどの様に導かれたのでしょうか
Φはあるφに対して軌道上で様々な値を取る
変数と定義されているように思われるのですが。
ほかにもe=1を導出した後の2式の連立は一般の
rで成り立つものでないように思えるのですがどうなのでしょうか。

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yokkun831さん

リクエストマッチ

2012/11/1718:04:57

極座標による軌道は,離心率をεとおいて
r(Φ) = L/(1 + εcosΦ)
と書けます。φ=-π/2,θ=π/4 において半直弦L = Rなので
r(Φ) = R/(1 + εcosΦ)
時間微分をとると
d r(Φ)/dt = εR sinΦdΦ/dt /(1 + εcosΦ)^2
Φ=π/2 のとき,これはVsinθと一致し,またこのときR dΦ/dt =Vcosθとなるべきですから
V sinθ = εV cosθ
∴ε= 1(放物線軌道)

以上が削除された回答の出発点だったのではないかと推察します。しかし,この結果は問題と矛盾しています。

Vは第2宇宙速度となるべきことがわかりますが,するとどんなθの場合も軌道は放物線になり,図のような回帰軌道にはならないのです。私の題意の読み違えでなければ,この問題は成立しないのではないかと思いました。

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