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波動方程式の意味

sug********さん

2012/11/2922:42:43

波動方程式の意味

d2u(x,t)/dx2 = 1/v2 * d2u(x,t)/dt2
という数式を見ただけで、これが波動を表すことをどう読み取ればいいのでしょうか。
波動関数を空間で2回微分したものは振動数の2乗に逆比例してかつ波動関数の加速度に比例するという風には読めますが、それが波動だというふうには解読できません。
それが波というものだとわかるような解読方法を教えてください。

補足u(x)が時間とともに速度vで動く関数は何か?という発想だけで
d2u(x,t)/dx2 = 1/v2 * d2u(x,t)/dt2
が導けるということでしょうか。
でしたら、その過程を教えていただけないでしょうか。

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wha********さん

2012/11/3008:02:18

d2u(x,t)/dx2 = 1/v2 * d2u(x,t)/dt2
は波動方程式????
違うんじゃないの。

∂^2u(x,t)/∂x^2 = 1/v2 * ∂^2u(x,t)/∂t^2
でしょう。
初めて見る人には波動方程式か分からないでしょう。
解いてみれば分かることです。
理解できれば、以後見ただけでわかるでしょう。

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mik********さん

編集あり2012/12/120:58:11

この微分方程式の解は
u(x±vt)
です。
だって、xで2回微分すればd^2u/dx^2になるし、tで2回微分すればv^2*d^2u/dt^2になるのだから、これが答だってわかるでしょう。

u(x‐vt)というのはu(x)が時間とともにxの正の方向に速度vで動く関数です。
u(x+vt)というのはu(x)が時間とともにxの負の方向に速度vで動く関数です。
いずれにしても、u(x)が時間とともに速度vで動く関数だということがわかります。

補足について
波動だから
d2u(x,t)/dx2 = 1/v2 * d2u(x,t)/dt2(本当は、もう1人の回答者が答えているようにdではなく∂)
になるのではなく、力のかかり方などをもとに方程式を作ると、こういう形になるのです。
振り子の振動しかり、ばねの振動叱り、弾性波も電磁波も同じ形です。もちろん水の波も。
最終的にこういう形の式になったら、これはu(x、t)という関数が速度vで伝わる波動だということが、式を見慣れている人だったら、すぐわかるのです。そんなに見慣れていない私でもわかりいます。

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