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この問題がわかりません 教えてください ax^2+2x+a<0の解がすべての実数であるとき...

rur********さん

2012/12/2423:54:14

この問題がわかりません
教えてください
ax^2+2x+a<0の解がすべての実数であるとき、定数aの値の範囲を求めよ
できるだけ詳しい解説お願いします

閲覧数:
84
回答数:
2

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ベストアンサーに選ばれた回答

cat********さん

編集あり2012/12/2502:16:28

ax^2+2x+a<0が全ての実数xに対して成り立つのは
二次関数y=ax^2+2x+aのグラフが常に
x軸より下方にあるとき
(下図のようなグラフになるとき)

その条件は
[1] 上に凸であること
[2] x軸と共有点をもたないこと

[1] から
x^2の係数が負であればよいから
a<0……①

[2]から
判別式<0が成り立てばよいから
判別式をDとおくと
D=2^2-4・a・a
=-4a^2+4<0

4a^2-4>0
a^2-1>0
(a-1)(a+1)>0
a<-1,1<a……②

①、②の共通範囲から
a<-1……(答)

まとめると常に、ax^2+bx+c<0 ⇔ a<0,D<0

問題に「二次不等式」ではなく「不等式」と
書かれている場合はa=0のときも考慮が必要になります

ax^2+2x+a<0が全ての実数xに対して成り立つのは
二次関数y=ax^2+2x+aのグラフが常に...

質問した人からのコメント

2012/12/25 20:15:46

ありがとうございます
納得できました!
図までつけてもらってありがとうございます

ベストアンサー以外の回答

1〜1件/1件中

kum********さん

2012/12/2500:06:48

f(x)=ax^2+2x+a
として、
f(x)<0のとき、f(x)の最大値が0より小さければ良い
2次関数f(x)がすべての実数xにおいて最大値が存在するということは、上に凸である必要があり、y=f(x)の頂点のy座標が最大値
上に凸のとき、x^2の係数は負
a<0

f(x)=a(x^2+2x/a)+a
=a(x^2+2x/a+1/a^2-1/a^2)+a
=a(x^2+2x/a+1/a^2)-1/a+a
=a(x+1/a)^2+(a^2-1)/a
頂点(-1/a,(a^2-1)/a)

最大値は(a^2-1)/aだから、これが0より小さければ良い
(a^2-1)/a<0
a<0なので
a^2-1>0
a^2>1
a<0なので
a<-1

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