哲学の中に「人格の同一性」と呼ばれる分野があり、あなたが疑問に思っているのは人格の同一性の問題です。英語圏の哲学で行われています。
「人格の同一性」とは別に「自己(または『私』または<私>)の同一性」というものを区別するという考えもありますが外国ではあまり区別しません。永井均という哲学者が「自己」、「『私』」、「<私>」をハッキリ区別し、特に<私>の存在そのものとその同一性について論じました。「<私>」の意味については省略しますが、とりあえずは「本当の本当の唯一の私」というほどの意味と思えばいいです。結論としては<私>の持続を説明するのは不可能ということになります。
別に機械の持つ脳に情報を移植したりSFに出てくる物質転送機のようなもので移動したりする話を考えなくても、今現在のあなたが明日のあなたと同じあなたであることも説明出来ない不思議なことなのですよ。もしかしたら自己(『私』、<私>)なんてものは存在しないかもしれません。
人格の同一性の場合はだいたい身体的連続性説、心理的同一性説、答はないという説があり、沢山本や論文があります。
永井均の「転校生とブラックジャック」という本を読むことを薦めます。
/(消すか書き換えるかも知れないが下でrskという奴が答えてる。あなたは知らないかもしれないがこの人は自分の考えを述べ始めるとあり得なくアホになる人で、本当に迷惑だから辞めてほしい。下でも「脳が取り換えられても私は持続する」みたいなことを断定してるでしょ。アホだよね、脳が取り換えられたら自分の脳が行く方向に自分も移動するに決まってるじゃんか。